概率论与数理统计

将以下场景与对应的离散概率分布模型匹配：

(a) 工厂生产零件，每个零件有概率 \(p\) 为次品。检验一个零件看它是否为次品。

(b) 检验 \(n\) 个零件，统计次品数量。

(c) 平均每小时有 \(\alpha\) 位顾客光顾商店。统计一小时内到达的顾客数。

(d) 反复检验零件直到发现第 \(k\) 个次品。统计总检验次数。

(e) 反复抛硬币直到第一次出现正面。统计总抛掷次数。

(f) 从 \(\{k, k+1, \dots, l\}\) 中随机等可能地选取一个整数。

分布模型：伯努利分布 / 二项分布 / 泊松分布 / 帕斯卡分布 / 几何分布 / 离散均匀分布

某城市任意一天有雾的概率为 \(0.4\)。有雾天居民戴口罩的概率为 \(0.2\)；无雾天戴口罩的概率为 \(0.01\)。

(1) 求随机选取一天，随机选取一位居民戴口罩的概率；

(2) 假设有三位居民，他们的戴口罩行为相互独立。求至少一人戴口罩的概率。

(1)

(2)

全概率公式：\(P(A)=P(B_1)P(A\mid B_1)+P(B_2)P(A\mid B_2)\)

• \(B_1\) = 有雾，\(B_2\) = 无雾
• 先算 \(P(\text{戴口罩})\)，再算 \(P(\text{至少一人戴})=1-(1-p)^3\)

某城市有霾的概率为 \(0.2\)。有霾天居民戴口罩的概率为 \(0.3\)；无霾天戴口罩的概率为 \(0.05\)。

(1) 求随机选取一位居民戴口罩的概率；

(2) 如果街上有 3 位相互独立的居民，求至少一人戴口罩的概率。

(1)

(2)

全概率公式：\(P(A)=P(B_1)P(A\mid B_1)+P(B_2)P(A\mid B_2)\)，其中 \(B_1,B_2\) 是样本空间的一个分割。

• 本题 \(B_1\) = 有霾，\(B_2\) = 无霾
• 先算 \(P(\text{戴口罩})\)，再用补事件算 \(P(\text{至少一人戴})=1-(1-p)^3\)

生成长度为 \(1\,000\,000\) 的随机二进制串，每位独立等可能为 \(0\) 或 \(1\)。使用中心极限定理估计该串包含至少 \(502\,000\) 个 \(1\) 的概率。

\(X\sim\text{二项分布}(n=10^6,p=0.5)\)。

由 De Moivre-Laplace 中心极限定理：

\(\mu = np = 500\,000\)，\(\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{250\,000} = 500\)。

\(Z = \dfrac{502\,000 - 500\,000}{500} = 4\)。

\(P(X \ge 502\,000) \approx 1 - \Phi(4) \approx 1 - 0.9999683 \approx 3.17\times 10^{-5}\)。

二项分布用 CLT 近似（De Moivre-Laplace 公式）：

• \(\mu=np\)，\(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\)
• 标准化：\(Z=\dfrac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}\approx N(0,1)\)
• \(P(X\ge k)\approx 1-\Phi(Z)\)，查标准正态表得概率

连续性校正：二项分布离散，正态分布连续，严格来说 \(P(X\ge 502\,000)\) 应对应 \(Z=\dfrac{501\,999.5-500\,000}{500}=3.999\)（边界左移 \(0.5\)）。但 \(n=10^6\) 极大，校正量 \(0.5/\sigma=0.001\)，对结果几乎无影响，可省略。

本题与 LLN（大数定律）的区别：LLN 说样本均值趋近期望，不给具体概率；CLT 给出近似分布，能算具体概率。

某商店顾客到达服从泊松分布，平均每 \(20\) 分钟有 \(10\) 位顾客到达。

(1) 求 \(20\) 分钟内至少 \(1\) 位顾客到达的概率；

(2) 求 \(8\) 分钟内恰好 \(2\) 位顾客到达的概率。

\(X\sim\text{泊松分布}(\alpha=10)\)（每 20 分钟）。

(1)

(2) 8 分钟参数：\(\alpha_8 = 10\times\frac{8}{20}=4\)。

泊松分布公式：\(P(X=k)=\dfrac{\alpha^k e^{-\alpha}}{k!}\)，期望和方差均为 \(\alpha\)。

• \(\alpha\) 按时间比例缩放：如本题每 20 分钟 \(\alpha=10\)，则 8 分钟 \(\alpha_8=10\times\frac{8}{20}=4\)

• 至少一个用补事件：\(P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-e^{-\alpha}\)

• 恰好 k 个直接代入公式

设 \(W = \dfrac{X_1+X_2+X_3+X_4}{4}\)，其中 \(E(X_i)=5\)，\(\text{Var}(X_i)=20\)，且 \(X_1,X_2,X_3,X_4\) 相互独立。

(1) 求 \(W\) 的均值和方差；

(2) 使用切比雪夫不等式估计 \(P[W \ge 20]\)；

(3) 使用中心极限定理近似 \(P[W \ge 20]\)。

(1)

(2) 切比雪夫不等式：

(3) 中心极限定理： \(Z = \dfrac{20-5}{\sqrt{5}} = \dfrac{15}{\sqrt{5}} \approx 6.708\)

• 马尔科夫不等式（Markov Inequality）：\(P[X\ge c]\le E[X]/c\)
• 切比雪夫不等式（Chebyshev Inequality）：\(P[|Y-\mu_Y|\ge c]\le \mathrm{Var}[Y]/c^2\)

期望/方差运算（独立时）：

• \(E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)\)
• \(\mathrm{Var}(aX+bY)=a^2\mathrm{Var}(X)+b^2\mathrm{Var}(Y)\)（协方差项为 0）

CLT：\(Z=\dfrac{W-\mu_W}{\sigma_W}\approx N(0,1)\)，查标准正态表得概率。

本题中 \(W=\frac{X_1+X_2+X_3+X_4}{4}\)，\(E(W)=5\)，\(\mathrm{Var}(W)=5\)。切比雪夫给出上界约 0.0222，CLT 给出近似值约 0（\(Z=6.708\) 远在 3\(\sigma\) 之外）。

二维离散随机变量 \((X,Y)\) 的联合频数分布如下表：

(1) 求 \(X\) 和 \(Y\) 的边缘分布（频数表）；

(2) 判断 \(X\) 和 \(Y\) 是否独立；

(3) 计算协方差 \(\text{Cov}(X,Y)\)；

(4) 计算相关系数 \(\rho_{XY}\)。

总频数 \(N = 160+80+120+240+40+160 = 800\)。

(1) \(X\) 的边缘分布： \(P(X=0)=\frac{400}{800}=0.5\)，\(P(X=1)=\frac{120}{800}=0.15\)，\(P(X=2)=\frac{280}{800}=0.35\)。

\(Y\) 的边缘分布：\(P(Y=0)=\frac{360}{800}=0.45\)，\(P(Y=1)=\frac{440}{800}=0.55\)。

(2) 检验 \(P(X=0,Y=0)=\frac{160}{800}=0.2\)，而 \(P(X=0)P(Y=0)=0.5\times0.45=0.225\neq0.2\)。不独立。

(3) \(E(X)=0\cdot0.5+1\cdot0.15+2\cdot0.35=0.85\)，

\(E(Y)=0\cdot0.45+1\cdot0.55=0.55\)。

\(E(XY)=0.05+0.4=0.45\)。

\(\text{Cov}(X,Y)=0.45-0.85\times0.55=-0.0175\)。

(4) \(\text{Var}(X)=E(X^2)-(E(X))^2=1.55-0.7225=0.8275\)。

\(\text{Var}(Y)=0.55-0.55^2=0.2475\)。

\(\rho_{XY}=\dfrac{-0.0175}{\sqrt{0.8275\times0.2475}}\approx -0.0386\)。

离散二元联合频数表：

1. 频数转概率：每个格子 \(\div\) 总数 \(N\) 得 \(P(X=x_i,Y=y_j)\)
2. 边缘 PMF：对行求和得 \(P(Y=y_j)\)，对列求和得 \(P(X=x_i)\)
3. 判独立：检查 \(P(X=x_i,Y=y_j) \stackrel{?}{=} P(X=x_i)P(Y=y_j)\)
4. 协方差/相关系数：

• \(E(X)=\sum x_i P(X=x_i)\)，\(E(Y)=\sum y_j P(Y=y_j)\)
• \(E(XY)=\sum\sum x_i y_j P(X=x_i,Y=y_j)\)
• \(\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\)
• \(\rho_{XY}=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y)}}\)

共 \(1200\) 个样本，头发颜色（\(0\) = 白 / \(1\) = 灰 / \(2\) = 黑）和长度（\(0\) = 短 / \(1\) = 长）的联合频数如下：

(1) 写出联合概率质量函数（Joint PMF）；

(2) 写出边缘概率质量函数（Marginal PMF）；

(3) 计算协方差 \(\text{Cov}(X,Y)\)；

(4) 计算相关系数 \(\rho_{XY}\)。

\(N=1200\)。联合 PMF = 频数 \(\div\ 1200\)。

(1) 联合 PMF： \(P(X=0,Y=0)=0.25\)，\(P(X=1,Y=0)=0.125\)，\(P(X=2,Y=0)=0.025\)， \(P(X=0,Y=1)=0.3\)，\(P(X=1,Y=1)=0.2\)，\(P(X=2,Y=1)=0.1\)。

(2) \(X\) 边缘 PMF：\(P(X=0)=0.55\)，\(P(X=1)=0.325\)，\(P(X=2)=0.125\)。 \(Y\) 边缘 PMF：\(P(Y=0)=0.4\)，\(P(Y=1)=0.6\)。

(3) \(E(X)=0\cdot0.55+1\cdot0.325+2\cdot0.125=0.575\)，\(E(Y)=0\cdot0.4+1\cdot0.6=0.6\)。 \(E(XY)=1\cdot1\cdot0.2+2\cdot1\cdot0.1=0.4\)。 \(\text{Cov}(X,Y)=0.4-0.575\times0.6=0.055\)。

(4) \(\text{Var}(X)=E(X^2)-0.575^2=(1\cdot0.325+4\cdot0.125)-0.3306=0.825-0.3306=0.4944\)。 \(\text{Var}(Y)=0.6-0.6^2=0.24\)。 \(\rho_{XY}=0.055/\sqrt{0.4944\times0.24}\approx 0.1597\)。

设随机变量 \(X\) 的概率密度函数为 \(f_X(x)\)（如上式）。

(1) 求常数 \(k\)；

(2) 求累积分布函数 \(F_X(x)\)；

(3) 求 \(P[X\ge 1.5]\)。

(1) 由归一化条件：

(2) 累积分布函数：

(3)

给 PDF 求 常数/CDF/概率 ：

• 求常数：\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)\,\mathrm{d}x=1\)，分段积分解出常数
• 求 CDF：\(F_X(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^x f_X(t)\,\mathrm{d}t\)，分段积分，每段累积
• 求概率：\(P(a<X<b)=F_X(b)-F_X(a)\)

本题 PDF 分段：\(0<x<1\) 时 \(f(x)=k(1-x)\)，\(1\le x\le2\) 时 \(f(x)=\frac12 x\)，注意分段积分时 CDF 每段要加上前一段的累积值。

设随机变量 \(X\) 的概率密度函数为 \(f_X(x)\)（如上式）。

(1) 求常数 \(c\)；

(2) 求累积分布函数 \(F_X(x)\)；

(3) 求 \(P[-1<X<1.5]\)。

(1) 由归一化条件：

(2) 累积分布函数：

(3)

设 \((X,Y)\) 的联合概率密度函数为 \(f_{X,Y}(x,y)\)（如上式）。

(1) 求 \(P[Y\le X]\)；

(2) 求边缘 PDF \(f_Y(y)\)；

(3) 求条件 PDF \(f_{X\mid Y}(x\mid y)\)。

积分区域：\(-1<y<1\)，\(y^2<x<1\)。

(1) 对 \(y\le 0\)：\(y^2<x<1\) 且 \(x>0\ge y\)，恒满足 \(y\le x\)。 对 \(y>0\)：需满足 \(x>y\) 且 \(x>y^2\)。由于 \(y\in(0,1)\) 时 \(y^2<y\)，紧下界为 \(x>y\)。

第一部分：\(\int_{-1}^0 \frac{5}{8}(1-y^4)\mathrm{d}y = \frac{5}{8}\Bigl(1-\frac{1}{5}\Bigr) = \frac{5}{8}\cdot\frac{4}{5} = \frac{1}{2}\)。

第二部分：\(\int_0^1 \frac{5}{8}(1-y^2)\mathrm{d}y = \frac{5}{8}\Bigl(1-\frac{1}{3}\Bigr) = \frac{5}{8}\cdot\frac{2}{3} = \frac{5}{12}\)。

(2) \(f_Y(y) = \displaystyle\int_{y^2}^1 \frac{5}{4}x\,\mathrm{d}x = \frac{5}{8}(1-y^4)\)，\(-1<y<1\)。

(3) \(f_{X\mid Y}(x\mid y) = \dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)} = \dfrac{\frac{5}{4}x}{\frac{5}{8}(1-y^4)} = \dfrac{2x}{1-y^4}\)，\(y^2<x<1\)。

给联合 PDF \(f_{X,Y}(x,y)\) 和区域（如 \(y^2<x<1\)），三步走：

• 边缘 PDF：把另一个变量积掉 \(f_Y(y)=\int f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\)
• 条件 PDF：\(f_{X\mid Y}(x\mid y)=\dfrac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}\)
• 求概率：在给定区域上对联合 PDF 做二重积分，关键是画图确定积分限

本题区域为 \(-1<y<1\)，\(y^2<x<1\)。求 \(P[Y\le X]\) 时要分 \(y\le0\) 和 \(y>0\) 两段讨论。