CS1035M 《信息安全原理与数学基础》考前练习¶

A（真）。\(\exists x(x>0 \land x^2=1)\)，取 \(x=1\) 即可满足。

C（4）。\(A=\{\emptyset, \{\emptyset\}\}\) 有 2 个元素，\(|\mathcal{P}(A)|=2^2=4\)。

D（既非单射也非满射）。\(f(x)=x^2\) 在 \(\mathbb{Z}\) 上：\(f(1)=f(-1)=1\) 非单射；负数不在值域中，非满射。

A（若 \(a*b=e\)，则 \(a\) 和 \(b\) 互为逆元）。由群的定义，每个元素都有逆元，且 \(a*b=e\) 即 \(b=a^{-1}\)。

• ✗ B：群中不一定有零元。注意零元 \(\neq\) 单位元：零元 \(z\) 满足 \(\forall a, a*z=z\)（吸收性），而单位元 \(e\) 满足 \(a*e=a\)（不变性）。反例：\((\mathbb{Z},+)\) 中 \(0\) 是单位元（\(a+0=a\)），但不是零元——若存在零元 \(z\) 则需 \(a+z=z\) 即所有 \(a=0\)，矛盾。事实上只有平凡群 \(\{e\}\) 才有零元。

• ✗ C：群中每个元素的逆元唯一。若 \(b,c\) 都是 \(a\) 的逆元，则 \(b=b*e=b*(a*c)=(b*a)*c=e*c=c\)。

• ✗ D：\(a\neq e\) 时也可能 \(a*a=e\)。反例：\((\{0,1\},\oplus)\)（异或群），单位元 \(e=0\)，\(1\neq0\) 但 \(1\oplus1=0=e\)（即 1 是二阶元）。

C（6）。\(t(R)\) 需补充传递关系：\((1,2)+(2,3)\to(1,3)\)，\((2,3)+(3,4)\to(2,4)\)，\((1,3)+(3,4)\to(1,4)\)。原 3 对 + 新增 3 对 = 6。

A（所有顶点的度数均为偶数）。欧拉图的充要条件：连通且每个顶点度数为偶数。

B（\((P\land Q)\to(P\lor Q)\)）。这是永真式：如果 \(P\land Q\) 成立则 \(P\lor Q\) 必成立。其余选项均非永真。

ABC。\(\mathbb{Z},\mathbb{Q}\) 对加法构成群；偶数集也是加法子群。\(\mathbb{N}\) 无负元（逆元）。

ABCD。(A) 空集是任何集合的子集；(B) 幂集单调性；(C) 幂集保交(不保并)；(D) \(A\subseteq A\) 恒成立，故 \(A\in\mathcal{P}(A)\)。

ACD。(A) 原像保交；(B) \(f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)\)，但未必相等；(C) \(f^{-1}(f(A))\) 包含 \(A\) 及其在 \(f\) 下的原像；(D) \(f(f^{-1}(C))\subseteq C\)，满射时可取等。

ABCD。均为关系性质的等价刻画。

ABD。(A)(B) 同构定义保证；(C) 度序列相同非充分条件（存在不同构但度序列相同的图）；(D) ✓，生成子图 (spanning subgraph) 的定义就是 \(V_1=V_2\)，即包含原图所有顶点，只是边集可以是原边集的子集。

ABCD。(A)(B)(C) 为谓词逻辑基本等值式；(D) 也是正确的等值式。

先写出集合形式：

(1) \(R_1\circ R_2\)

\(R_1\circ R_2\) 表示先 \(R_1\) 后 \(R_2\)：\(R_1\circ R_2=\{(x,z)\mid\exists y,(x,y)\in R_1\land(y,z)\in R_2\}\)。

遍历 \(R_1\) 中的 \((x,y)\)，检查 \(y\) 是否在 \(R_2\) 的定义域 \(\{2,3\}\) 中：

• \((1,2)\in R_1\)，而 \((2,0)\in R_2\) → 得 \((1,0)\)
• \((2,3)\in R_1\)，而 \((3,1)\in R_2\) → 得 \((2,1)\)

(2) \(R_2\circ R_1\)

\(R_2\circ R_1\) 表示先 \(R_2\) 后 \(R_1\)：\(R_2\circ R_1=\{(x,z)\mid\exists y,(x,y)\in R_2\land(y,z)\in R_1\}\)。

• \((2,0)\in R_2\)，而 \((0,1),(0,0)\in R_1\) → 得 \((2,1),(2,0)\)
• \((3,1)\in R_2\)，而 \((1,2)\in R_1\) → 得 \((3,2)\)

(3) \(R_1\circ R_2\circ R_1\)

按结合律：\(R_1\circ R_2\circ R_1 = (R_1\circ R_2)\circ R_1 = \{(1,0),(2,1)\}\circ R_1\)。

注意先 \((R_1\circ R_2)\) 后 \(R_1\)：

• 对于 \((1,0)\)：\(0\) 在 \(R_1\) 中有后继 \((0,1),(0,0)\) → 得 \((1,1),(1,0)\)
• 对于 \((2,1)\)：\(1\) 在 \(R_1\) 中有后继 \((1,2)\) → 得 \((2,2)\)

反证法。假设这两个奇度顶点 \(u\) 和 \(v\) 之间没有路径（不连通），那么它们必然分属两个不同的连通分支。

单独看 \(u\) 所在的连通分支：在这个分支里，除了 \(u\) 的度数为奇数，其余顶点度数全都是偶数（因为题目说整个图只有 \(u\) 和 \(v\) 两个奇度点，而 \(v\) 在另一个分支）。

但根据握手定理，任何图中奇度顶点的个数必须是偶数。这个分支只有 \(u\) 一个奇度顶点，矛盾。同理 \(v\) 所在的分支也会推出矛盾。所以假设不成立，\(u\) 和 \(v\) 必在同一连通分支中，即它们之间一定连通。

数学归纳法。

\(n=0\)：\(4^1+3^2=4+9=13\)，成立。

设 \(n=k\) 成立：\(4^{2k+1}+3^{k+2}=13m\)。

\(n=k+1\)：

能被 13 整除。得证。

B（\(A(1)\lor A(2)\)）。论域有限时，\(\exists x A(x)\) 等价于对各元素的析取。

C（8）。从 \(A\)（3 元素）到 \(B\)（2 元素）的函数个数为 \(2^3=8\)。

A（\(\{\langle1,1\rangle,\langle1,3\rangle,\langle2,2\rangle,\langle2,4\rangle\}\)）。 \(A\circ A\) 计算：\((1,2)\circ(2,1)=(1,1)\)，\((1,2)\circ(2,3)=(1,3)\)，\((2,1)\circ(1,2)=(2,2)\)，\((2,3)\circ(3,4)=(2,4)\)。共 4 个。

A（\(G\) 连通且所有顶点度数为偶数）。

C（\(B\) 无最大元，有极大元 \(4\) 和 \(6\)）。在整除关系下：\(2\mid4\)，\(2\mid6\)，但 \(4\nmid6\) 且 \(6\nmid4\)，故 \(4\) 和 \(6\) 不可比较，无最大元。\(2\) 是极小元（整除 \(4\) 和 \(6\)）。

✗ (A) \(2\) 是最小元（整除 \(4\) 和 \(6\)），无最大元。

✗ (B) 下确界为 \(2\)（\(\gcd(2,4,6)=2\)）；上界需是 \(\operatorname{lcm}(2,4,6)=12\) 的倍数，\(A\) 中没有，故无上确界。

✗ (D) \(6\) 不是上界（\(4\nmid6\)），上确界不存在。

C（\(\exists x(A(x)\land B(x))\iff\exists x A(x)\land\exists x B(x)\)）。方向 \(\to\) 成立，但 \(\gets\) 不成立（两个存在量词可能指不同 \(x\)）。

ACD。\(A=\emptyset\)，\(\mathcal{P}(A)=\{\emptyset\}\)，\(\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}=B\)。 (A) \(\emptyset\in B\) ✓；(B) \(\{\emptyset,\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}\) 不在 \(B\) 中 ✗；(C) \(\{\emptyset\}\in B\) ✓；(D) \(\emptyset\subseteq B\) ✓。

CD。(A) 反例：\(S=\{1\},T=\{1,2\},M=\{2\}\)；(B) \(S-T=\emptyset\) 只说明 \(S\subseteq T\)；(C) 正确，集合相等可由上下界刻画；(D) 正确，\(\overline{S}\cup T=E \iff S\subseteq T\)。

AC。(A) \(x+3\) 严格单调，单射；(B) \((x+3)^2\) 对称，\(x=-2\) 和 \(x=-4\) 同值；(C) \(x^3+x\) 严格单调（导数为 \(3x^2+1>0\)），单射；(D) \(|x+3|\) 对称。

BC。(A) \((1,1)\notin R\)，非自反；(B) \(x+x=11\) 在 \(A\) 中无解，故所有 \((x,x)\) 均不在 \(R\) 中，反自反；(C) \(x+y=11\iff y+x=11\)，对称；(D) \((1,10)\in R,(10,1)\in R\) 但 \((1,1)\notin R\)，非传递。

BC。

(A) 反例：\(v=5\)，在 4 个顶点上取 \(K_4\) 的 5 条边，剩余 1 个顶点孤立，此时 \(e=5>4=v-1\) 但不连通；

(B) 完全图每对顶点恰有一条边，共 \(C_v^2=v(v-1)/2\) 条；

(C) 二分图顶点可二染色，边只能连接异色顶点。假设含奇圈 \(v_1v_2\cdots v_{2k+1}v_1\)，从 \(v_1\) 出发交替染色，绕一圈后 \(v_1\) 同时被染两种颜色，矛盾。故二分图不含奇圈，正确；

(D) 错。11 是 \(|V|=4\) 的生成子图数（按边数 0~6: 1,1,2,3,2,1,1），但子图可取更少顶点：\(|V|=1\) 有 1 个，\(|V|=2\) 有 2 个，\(|V|=3\) 有 4 个，加空图共 \(1+1+2+4+11=19\) 个（不含空图 18 个）。

AC。(A) 全称实例化+假言推理，正确；(B) 方向不成立；(C) \(\exists x(A\land B)\) 蕴含各自存在，正确；(D) 方向不成立，两存在量词可能不同。

\(A^2=A\times A=\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}\)， \(A^2\times B=\{(0,0,1),(0,0,2),(0,1,1),(0,1,2),(1,0,1),(1,0,2),(1,1,1),(1,1,2)\}\)，共 8 个有序三元组。

\((P\to\neg Q)\to R\)

\(\iff \neg(\neg P\lor\neg Q)\lor R\)

\(\iff (P\land Q)\lor R\)

展开为小项：\((P\land Q\land R)\lor(P\land Q\land\neg R)\lor(P\land R)\lor(\neg P\land R)\) \(=m_7\lor m_6\lor(m_7\lor m_3)\lor(m_3\lor m_1)\) \(=m_1\lor m_3\lor m_6\lor m_7\)

主合取范式：\(M_0\land M_2\land M_4\land M_5\)。

数学归纳法。

基础 \(n=2\)：

归纳假设：设 \(n=k\) 时成立，即

归纳递推 \(n=k+1\)：

只需证 \(\displaystyle\frac{k+1}{2k+1}\sqrt{2k+1}\ge\frac{\sqrt{2k+3}}{2}\)，两边平方等价于：

故 \(n=k+1\) 时也成立。由数学归纳法，原不等式对任意 \(n>1\) 成立。

将以下场景与对应的离散概率分布模型匹配：

(a) 工厂生产零件，每个零件有概率 \(p\) 为次品。检验一个零件看它是否为次品。

(b) 检验 \(n\) 个零件，统计次品数量。

(c) 平均每小时有 \(\alpha\) 位顾客光顾商店。统计一小时内到达的顾客数。

(d) 反复检验零件直到发现第 \(k\) 个次品。统计总检验次数。

(e) 反复抛硬币直到第一次出现正面。统计总抛掷次数。

(f) 从 \(\{k, k+1, \dots, l\}\) 中随机等可能地选取一个整数。

分布模型：伯努利分布 / 二项分布 / 泊松分布 / 帕斯卡分布 / 几何分布 / 离散均匀分布

某城市任意一天有雾的概率为 \(0.4\)。有雾天居民戴口罩的概率为 \(0.2\)；无雾天戴口罩的概率为 \(0.01\)。

(1) 求随机选取一天，随机选取一位居民戴口罩的概率；

(2) 假设有三位居民，他们的戴口罩行为相互独立。求至少一人戴口罩的概率。

(1)

(2)

全概率公式：\(P(A)=P(B_1)P(A\mid B_1)+P(B_2)P(A\mid B_2)\)

• \(B_1\) = 有雾，\(B_2\) = 无雾
• 先算 \(P(\text{戴口罩})\)，再算 \(P(\text{至少一人戴})=1-(1-p)^3\)

某城市有霾的概率为 \(0.2\)。有霾天居民戴口罩的概率为 \(0.3\)；无霾天戴口罩的概率为 \(0.05\)。

(1) 求随机选取一位居民戴口罩的概率；

(2) 如果街上有 3 位相互独立的居民，求至少一人戴口罩的概率。

(1)

(2)

全概率公式：\(P(A)=P(B_1)P(A\mid B_1)+P(B_2)P(A\mid B_2)\)，其中 \(B_1,B_2\) 是样本空间的一个分割。

• 本题 \(B_1\) = 有霾，\(B_2\) = 无霾
• 先算 \(P(\text{戴口罩})\)，再用补事件算 \(P(\text{至少一人戴})=1-(1-p)^3\)

生成长度为 \(1\,000\,000\) 的随机二进制串，每位独立等可能为 \(0\) 或 \(1\)。使用中心极限定理估计该串包含至少 \(502\,000\) 个 \(1\) 的概率。

\(X\sim\text{二项分布}(n=10^6,p=0.5)\)。

由 De Moivre-Laplace 中心极限定理：

\(\mu = np = 500\,000\)，\(\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{250\,000} = 500\)。

\(Z = \dfrac{502\,000 - 500\,000}{500} = 4\)。

\(P(X \ge 502\,000) \approx 1 - \Phi(4) \approx 1 - 0.9999683 \approx 3.17\times 10^{-5}\)。

二项分布用 CLT 近似（De Moivre-Laplace 公式）：

• \(\mu=np\)，\(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\)
• 标准化：\(Z=\dfrac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}\approx N(0,1)\)
• \(P(X\ge k)\approx 1-\Phi(Z)\)，查标准正态表得概率

连续性校正：二项分布离散，正态分布连续，严格来说 \(P(X\ge 502\,000)\) 应对应 \(Z=\dfrac{501\,999.5-500\,000}{500}=3.999\)（边界左移 \(0.5\)）。但 \(n=10^6\) 极大，校正量 \(0.5/\sigma=0.001\)，对结果几乎无影响，可省略。

本题与 LLN（大数定律）的区别：LLN 说样本均值趋近期望，不给具体概率；CLT 给出近似分布，能算具体概率。

某商店顾客到达服从泊松分布，平均每 \(20\) 分钟有 \(10\) 位顾客到达。

(1) 求 \(20\) 分钟内至少 \(1\) 位顾客到达的概率；

(2) 求 \(8\) 分钟内恰好 \(2\) 位顾客到达的概率。

\(X\sim\text{泊松分布}(\alpha=10)\)（每 20 分钟）。

(1)

(2) 8 分钟参数：\(\alpha_8 = 10\times\frac{8}{20}=4\)。

泊松分布公式：\(P(X=k)=\dfrac{\alpha^k e^{-\alpha}}{k!}\)，期望和方差均为 \(\alpha\)。

• \(\alpha\) 按时间比例缩放：如本题每 20 分钟 \(\alpha=10\)，则 8 分钟 \(\alpha_8=10\times\frac{8}{20}=4\)

• 至少一个用补事件：\(P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-e^{-\alpha}\)

• 恰好 k 个直接代入公式

设 \(W = \dfrac{X_1+X_2+X_3+X_4}{4}\)，其中 \(E(X_i)=5\)，\(\text{Var}(X_i)=20\)，且 \(X_1,X_2,X_3,X_4\) 相互独立。

(1) 求 \(W\) 的均值和方差；

(2) 使用切比雪夫不等式估计 \(P[W \ge 20]\)；

(3) 使用中心极限定理近似 \(P[W \ge 20]\)。

(1)

(2) 切比雪夫不等式：

(3) 中心极限定理： \(Z = \dfrac{20-5}{\sqrt{5}} = \dfrac{15}{\sqrt{5}} \approx 6.708\)

• 马尔科夫不等式（Markov Inequality）：\(P[X\ge c]\le E[X]/c\)
• 切比雪夫不等式（Chebyshev Inequality）：\(P[|Y-\mu_Y|\ge c]\le \mathrm{Var}[Y]/c^2\)

期望/方差运算（独立时）：

• \(E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)\)
• \(\mathrm{Var}(aX+bY)=a^2\mathrm{Var}(X)+b^2\mathrm{Var}(Y)\)（协方差项为 0）

CLT：\(Z=\dfrac{W-\mu_W}{\sigma_W}\approx N(0,1)\)，查标准正态表得概率。

本题中 \(W=\frac{X_1+X_2+X_3+X_4}{4}\)，\(E(W)=5\)，\(\mathrm{Var}(W)=5\)。切比雪夫给出上界约 0.0222，CLT 给出近似值约 0（\(Z=6.708\) 远在 3\(\sigma\) 之外）。

二维离散随机变量 \((X,Y)\) 的联合频数分布如下表：

(1) 求 \(X\) 和 \(Y\) 的边缘分布（频数表）；

(2) 判断 \(X\) 和 \(Y\) 是否独立；

(3) 计算协方差 \(\text{Cov}(X,Y)\)；

(4) 计算相关系数 \(\rho_{XY}\)。

总频数 \(N = 160+80+120+240+40+160 = 800\)。

(1) \(X\) 的边缘分布： \(P(X=0)=\frac{400}{800}=0.5\)，\(P(X=1)=\frac{120}{800}=0.15\)，\(P(X=2)=\frac{280}{800}=0.35\)。

\(Y\) 的边缘分布：\(P(Y=0)=\frac{360}{800}=0.45\)，\(P(Y=1)=\frac{440}{800}=0.55\)。

(2) 检验 \(P(X=0,Y=0)=\frac{160}{800}=0.2\)，而 \(P(X=0)P(Y=0)=0.5\times0.45=0.225\neq0.2\)。不独立。

(3) \(E(X)=0\cdot0.5+1\cdot0.15+2\cdot0.35=0.85\)，

\(E(Y)=0\cdot0.45+1\cdot0.55=0.55\)。

\(E(XY)=0.05+0.4=0.45\)。

\(\text{Cov}(X,Y)=0.45-0.85\times0.55=-0.0175\)。

(4) \(\text{Var}(X)=E(X^2)-(E(X))^2=1.55-0.7225=0.8275\)。

\(\text{Var}(Y)=0.55-0.55^2=0.2475\)。

\(\rho_{XY}=\dfrac{-0.0175}{\sqrt{0.8275\times0.2475}}\approx -0.0386\)。

离散二元联合频数表：

1. 频数转概率：每个格子 \(\div\) 总数 \(N\) 得 \(P(X=x_i,Y=y_j)\)
2. 边缘 PMF：对行求和得 \(P(Y=y_j)\)，对列求和得 \(P(X=x_i)\)
3. 判独立：检查 \(P(X=x_i,Y=y_j) \stackrel{?}{=} P(X=x_i)P(Y=y_j)\)

4. 协方差/相关系数：

5. \(E(X)=\sum x_i P(X=x_i)\)，\(E(Y)=\sum y_j P(Y=y_j)\)

6. \(E(XY)=\sum\sum x_i y_j P(X=x_i,Y=y_j)\)
7. \(\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\)
8. \(\rho_{XY}=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y)}}\)

共 \(1200\) 个样本，头发颜色（\(0\) = 白 / \(1\) = 灰 / \(2\) = 黑）和长度（\(0\) = 短 / \(1\) = 长）的联合频数如下：

(1) 写出联合概率质量函数（Joint PMF）；

(2) 写出边缘概率质量函数（Marginal PMF）；

(3) 计算协方差 \(\text{Cov}(X,Y)\)；

(4) 计算相关系数 \(\rho_{XY}\)。

\(N=1200\)。联合 PMF = 频数 \(\div\ 1200\)。

(1) 联合 PMF： \(P(X=0,Y=0)=0.25\)，\(P(X=1,Y=0)=0.125\)，\(P(X=2,Y=0)=0.025\)， \(P(X=0,Y=1)=0.3\)，\(P(X=1,Y=1)=0.2\)，\(P(X=2,Y=1)=0.1\)。

(2) \(X\) 边缘 PMF：\(P(X=0)=0.55\)，\(P(X=1)=0.325\)，\(P(X=2)=0.125\)。 \(Y\) 边缘 PMF：\(P(Y=0)=0.4\)，\(P(Y=1)=0.6\)。

(3) \(E(X)=0\cdot0.55+1\cdot0.325+2\cdot0.125=0.575\)，\(E(Y)=0\cdot0.4+1\cdot0.6=0.6\)。 \(E(XY)=1\cdot1\cdot0.2+2\cdot1\cdot0.1=0.4\)。 \(\text{Cov}(X,Y)=0.4-0.575\times0.6=0.055\)。

(4) \(\text{Var}(X)=E(X^2)-0.575^2=(1\cdot0.325+4\cdot0.125)-0.3306=0.825-0.3306=0.4944\)。 \(\text{Var}(Y)=0.6-0.6^2=0.24\)。 \(\rho_{XY}=0.055/\sqrt{0.4944\times0.24}\approx 0.1597\)。

设随机变量 \(X\) 的概率密度函数为 \(f_X(x)\)（如上式）。

(1) 求常数 \(k\)；

(2) 求累积分布函数 \(F_X(x)\)；

(3) 求 \(P[X\ge 1.5]\)。

(1) 由归一化条件：

(2) 累积分布函数：

(3)

给 PDF 求 常数/CDF/概率 ：

• 求常数：\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)\,\mathrm{d}x=1\)，分段积分解出常数
• 求 CDF：\(F_X(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^x f_X(t)\,\mathrm{d}t\)，分段积分，每段累积
• 求概率：\(P(a<X<b)=F_X(b)-F_X(a)\)

本题 PDF 分段：\(0<x<1\) 时 \(f(x)=k(1-x)\)，\(1\le x\le2\) 时 \(f(x)=\frac12 x\)，注意分段积分时 CDF 每段要加上前一段的累积值。

设随机变量 \(X\) 的概率密度函数为 \(f_X(x)\)（如上式）。

(1) 求常数 \(c\)；

(2) 求累积分布函数 \(F_X(x)\)；

(3) 求 \(P[-1<X<1.5]\)。

(1) 由归一化条件：

(2) 累积分布函数：

(3)

设 \((X,Y)\) 的联合概率密度函数为 \(f_{X,Y}(x,y)\)（如上式）。

(1) 求 \(P[Y\le X]\)；

(2) 求边缘 PDF \(f_Y(y)\)；

(3) 求条件 PDF \(f_{X\mid Y}(x\mid y)\)。

积分区域：\(-1<y<1\)，\(y^2<x<1\)。

(1) 对 \(y\le 0\)：\(y^2<x<1\) 且 \(x>0\ge y\)，恒满足 \(y\le x\)。 对 \(y>0\)：需满足 \(x>y\) 且 \(x>y^2\)。由于 \(y\in(0,1)\) 时 \(y^2<y\)，紧下界为 \(x>y\)。

第一部分：\(\int_{-1}^0 \frac{5}{8}(1-y^4)\mathrm{d}y = \frac{5}{8}\Bigl(1-\frac{1}{5}\Bigr) = \frac{5}{8}\cdot\frac{4}{5} = \frac{1}{2}\)。

第二部分：\(\int_0^1 \frac{5}{8}(1-y^2)\mathrm{d}y = \frac{5}{8}\Bigl(1-\frac{1}{3}\Bigr) = \frac{5}{8}\cdot\frac{2}{3} = \frac{5}{12}\)。

(2) \(f_Y(y) = \displaystyle\int_{y^2}^1 \frac{5}{4}x\,\mathrm{d}x = \frac{5}{8}(1-y^4)\)，\(-1<y<1\)。

(3) \(f_{X\mid Y}(x\mid y) = \dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)} = \dfrac{\frac{5}{4}x}{\frac{5}{8}(1-y^4)} = \dfrac{2x}{1-y^4}\)，\(y^2<x<1\)。

给联合 PDF \(f_{X,Y}(x,y)\) 和区域（如 \(y^2<x<1\)），三步走：

• 边缘 PDF：把另一个变量积掉 \(f_Y(y)=\int f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\)
• 条件 PDF：\(f_{X\mid Y}(x\mid y)=\dfrac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}\)
• 求概率：在给定区域上对联合 PDF 做二重积分，关键是画图确定积分限

本题区域为 \(-1<y<1\)，\(y^2<x<1\)。求 \(P[Y\le X]\) 时要分 \(y\le0\) 和 \(y>0\) 两段讨论。